5.1.2 Simple Linear Regression

5.1.2 Simple Linear Regression



The objective of a regression model is to try to explain the relationship that exists between a dependent variable, (response variable) and a set of independent variables, (explanatory variables)
In the simple linear regression model, we try to explain the relationship that exists between the response variable AND a single explanatory variable X.

                                                                     Y = α + βX + ε

Where α is the ordinate at the origin (the value that Y takes when X is 0)

β is the slope of the line, (and indicates how Y changes by increasing X by one unit)
ε is a variable that includes a large set of factors, each of which influences the response only in a small amount to what is called "error".


ESTIMATION OF THE REGRESSION STRAIGHT BY THE MINIMUM SQUARE METHOD

First, we will proceed to represent the scatter diagram, or point cloud. Suppose it is the one obtained in the figure. Although the cloud reveals a large dispersion, we can observe a certain linear tendency by increasing X and Y (a trend that is not entirely accurate, for example, if we assume that X is age and Y is the size, obviously, not only the size it depends on the age, in addition there can also be measurement errors).

The regression line should have a mid-line character, it should fit well with most of the data, that is, it should pass as close as possible to all the points, that you have little of each and every one of them means that we should adopt a particular criterion that is generally known as SQUARE MINIMUM. This criterion means that the sum of the squares of the vertical distances of the points to the line must be as small as possible.

5.1.1 Scatter diagrams

5.1.1 Scatter diagrams


The scatter diagram is a graphical tool that helps identify the possible relationship between two variables. Represents the relationship between two variables graphically, which makes it easier to visualize and interpret the data. is a type of mathematical diagram that uses the Cartesian coordinates to show the values of two variables for a set of data.

The dispersion diagram allows to analyze if there is any kind of relationship between two variables. For example, it can happen that two variables are related so that increasing the value of one increases the value of the other. In this case we would talk about the existence of a positive correlation. It could also happen that when one occurs in one direction, the other derives in the opposite direction; for example, by increasing the value of the variable x, reduce that of the variable y. Then, there would be a negative correlation. If the values of both variables are revealed independent of each other, it would be affirmed that there is no correlation.


One of the most powerful aspects of a scatter plot, however, is its ability to show the non-linear relationships between the variables. Furthermore, if the data is represented by a simple relationship mixing model, these relationships are visually evident as overlapping patterns.

5.1.7 Errores de medición

5.1.7 Errores de medición

El error de medición se define como la diferencia entre el valor medido y el "valor verdadero". Los errores de medición afectan a cualquier instrumento de medición y pueden deberse a distintas causas. Las que se pueden de alguna manera prever, calcular, eliminar mediante calibraciones y compensaciones, se denominan deterministas o sistemáticos y se relacionan con la exactitud de las mediciones. Los que no se pueden prever, pues dependen de causas desconocidas, o estocásticas se denominan aleatorios y están relacionados con la precisión del instrumento.

Error aleatorio. No se conocen las leyes o mecanismos que lo causan por su excesiva complejidad o por su pequeña influencia en el resultado final.

Para conocer este tipo de errores primero debemos realizar un muestreo de medidas. Con los datos de las sucesivas medidas podemos calcular su media y la desviación típica muestra.

Error sistemático. Permanecen constantes en valor absoluto y en el signo al medir, una magnitud en las mismas condiciones, y se conocen las leyes que lo causan.

Para determinar el error sistemático de la medición se deben de realizar una serie de medidas sobre una magnitud Xo, se debe de calcular la media aritmética de estas medidas y después hallar la diferencia entre la media y la magnitud X0.

Error sistemático = | media - X0 |

Aunque es imposible conocer todas las causas del error es conveniente conocer todas las causas importantes y tener una idea que permita evaluar los errores más frecuentes. Las principales causas que producen errores se pueden clasificar en:

Error debido al instrumento de medida.

Error debido al operador.

Error debido a los factores ambientales.

Error debido a las tolerancias geométricas de la propia pieza.

5.1.6 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de corelacion

5.1.6 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de corelación

En estadística, se llama intervalo de confianza a un par o varios pares de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional.

 La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.

Utilice el intervalo de confianza para evaluar la estimación del parámetro de población. Por ejemplo, un fabricante desea saber si la longitud media de los lápices que produce es diferente de la longitud objetivo. El fabricante toma una muestra aleatoria de lápices y determina que la longitud media de la muestra es 52 milímetros y el intervalo de confianza de 95% es (50,54). Por lo tanto, usted puede estar 95% seguro de que la longitud media de todos los lápices se encuentra entre 50 y 54 milímetros.

Ejercicios de Distribución bidimensional

Considerando las formulas mostradas anteriormente, realice el ejercicio presentado.










siendo




Ejercicio 1.


Se lanza una moneda 37 veces y se quiere conocer la probabilidad de que caiga sol 18 veces

5.1.5 Distribución normal bidimensional

5.1.5 Distribución normal bidimensional

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles. A uno de estos se denomina «éxito» y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, «fracaso», con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

                                                               





Su función de probabilidad es




donde


siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en )

Ejercicios Coeficiente de correlacion

La formula para sacar el coeficiente de correlacion (denominado r) es:

esto quiere decir "covarianza sobre el producto de las variaciones típicas de X e Y

Nota: como puede observarse, para calcular el coeficiente de correlación hace falta antes conocer la covarianza y las variaciones típicas de este modo:

Para desviación típica

Para covarianza

Ahora si se presentan dos Ejercicios

Ejercicio N° 1: 

X	Y
1	10
2	17
3	30
4	28
5	39
6	47

Una empresa de publicidad tiene la siguiente distribución de datos donde x=número de anuncios publicitarios transmitidos e Y= al número de ventas conseguidas, Se desea saber el coeficiente de correlación entre X e Y

                                                                Ejercicio N° 2

  

X	Y
2	1
3	3
4	2
4	4
5	4
6	4
6	6
7	4
7	6
8	7
10	9
10	10

Las notas de 12 alumnos de un grupo de secundaria en dos materias diferentes son:

Donde X corresponde a las calificaciones en matemáticas e Y a Fisica

*Calcular el coeficiente de correlación.